Рѣшеніе задачи 48

Задача: Доказать, что во всякомъ треугольникѣ:

$$4h^4{r}^2(a^2+S{h}^{2}A)=S{h}^{2}A(a^4{c}^4+4h^4{r}^2),$$

гдѣ $h$ высота и $r$ радіусъ описаннаго круга.

Рѣшеніе: Изъ геометріи извѣстно, что:

$$r=\frac{ac}{2h},$$

откуда

$$a^4{c}^4=16h^4{r}^4.$$

Слѣдов., вторая половина равенства представится въ видѣ

$$S{h}^{2}A(16h^4{r}^4+4h^4{r}^2)$$

или

$$S{h}^{2}A\times 4h^4{r}^2(4r^2+1),$$

изъ формулы

$$\frac{a}{ShA}=\frac{b}{ShB}=\frac{c}{ShC}=2r$$

или

$$4r^2=\frac{a^2}{S{h}^{2}A}$$

и

$$4r^2+1=\frac{a^2+S{h}^{2}A}{S{h}^{2}A}.$$

Слѣдовательно, вторая половина принимаетъ видъ

$$4h^4{r}^2(a^2+S{h}^{2}A),$$

т. е., представляетъ видъ первой половины.

Рѣшеніе этой задачи можетъ быть лишь тогда, когда мы возьмемъ

$$r=\frac{ac}{2h},$$

всѣ же другія значенія $r$, т. е.

$$\frac{bc}{2h}$$

и

$$\frac{ab}{2h}$$

должны быть оставлены.