Рѣшеніе задачи 49

Задача: Показать, при какихъ значеніяхъ $a$ и $b$ средняя арифметическая ихъ всегда меньше средней геометрической.

Рѣшеніе: Нахожденіе величинъ для $a$ и $b$ , удовлетворяющихъ данному условію, сводится на нахожденіе величинъ, удовлетворяющихъ неравенству

$(a - b)^{2} < 0 .$

Мы знаемъ уже, что при значеніяхъ для $a$ и $b$ цѣлыхъ и дробныхъ, положительныхъ и отрицательныхъ,

$(a - b)^{2}$

всегда больше нуля. Посмотримъ, будетъ ли

$(a - b)^{2} < 0$

при значеніяхъ мнимыхъ. Положимъ

$a = a_{1} \sqrt{- 1}$

$b = b_{1} \sqrt{- 1},$

гдѣ $a_{1}$ и $b_{1}$ могутъ быть положительными, отрицательными, цѣлыми и дробными. Если при такихъ значеніяхъ

$(a - b)^{2} < 0,$

то теорема доказана.

Дано

$(a_{1} \sqrt{- 1} - b_{1} \sqrt{- 1})^{2} .$

Будетъ ли это выраженіе меньше нуля?

Оно равно

$(\sqrt{- 1})^{2} (a_{1} - b_{1})^{2} = - 1 (a_{1} - b_{1})^{2} = - (a_{1} - b_{1})^{2},$

но

$(a_{1} - b_{1})^{2}$

всегда величина положительная, а потому

$- (a_{1} - b_{1})^{2} < 0$

или

$(a - b)^{2} < 0$

при мнимыхъ значеніяхъ.

Докажемъ вторую половину нашей теоремы.

$a^{2} - 2 a b + b^{2} < 0 .$

Прибавимъ къ обѣимъ половинамъ неравенства по $4 a b$ , получимъ:

$(a + b)^{2} < 4 a b$

или

$(\frac{a + b}{2})^{2} < a b,$

или

$\frac{a + b}{2} < \sqrt{a b},$

т. е. мы доказали, что средняя арифметическая величинъ $a$ и $b$ меньше средней геометрической ихъ, если $a$ и $b$ имѣютъ значенія мнимыя.

Вѣрныя рѣшенія прислали: зад. 50: П. Зассъ (С.-Пб.), зад. 49-й И. Тихоміровъ (Харьковъ).