Рѣшеніе задачи 50

Максъ Фридманъ.

Задача: Написать ариѳметическую прогрессію, обладающую такимъ свойствомъ, что средне-ариѳметическая всякаго числа членовъ равна числу членовъ.

Рѣшеніе: Пусть искомая прогрессія

$x, x + y, x + 2 y, \dots$

Средне-ариѳметическая $n$ членовъ есть

$\frac{1}{2} (2 x + y (n - 1)) .$

Отсюда уравненіе

$2 x + y (n - 1) = 2 n$

или (α)

$2 x + n y - y = 2 n .$

По условію, это уравненіе не теряетъ смысла, если вмѣсто $n$ членовъ взять $n + k$ , гдѣ $k > 0$ . Подставляемъ вмѣсто $n$ $n + k$ :

$2 x + (n + k) y - y = 2 (n + k),$

откуда

$2 x = 2 (n + k) - (n + k) y + y .$

Эту величину $2 x$ подставимъ въ уравненіе (α):

$2 (n + k) - y (n + k) + y + n y - y = 2 n .$

Отсюда $k y - 2 k = 0$ ; въ виду неравенства $k$ съ нулемъ можемъ сказать, что $y = 2$ .

Изъ уравненія (α) $x = 1$ .

Итакъ прогрессія, обладающая заданнымъ свойствомъ, есть

$1, 3, 5, 7, 9, \dots, 2 n - 1 .$

Вѣрныя рѣшенія прислали: зад. 1-й Ив. Горбачевскій (Кишиневъ) и А. Вальковскій (С.-ПБ.).