Рѣшеніе задачи 2

Задача: Показать, что

$$\frac{(an+bm)(am+bn)}{abmn}$$

не меньше четырехъ, если $a$, $b$, $m$, $n$ одного знака.

Рѣшеніе: Произведя умноженіе въ числителѣ и раздѣливъ на знаменатель, получимъ:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{m}{n}+\frac{n}{m}\ge 4.$$

Это очевидно, такъ какъ $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ не можетъ быть меньше 2, также какъ и $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$. Это доказывается такъ:

$$(a-b{)}^2\ge 0$$

$$a^2+b^2\ge 2ab$$

Раздѣливъ всѣ члены на $ab$, получимъ:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$